设f(x)在【0,a】上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=f(a)
设f(x)在【0,a】上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=f(a),求证:存在ζ∈(0,a),使得f(ζ)=f(ζ+a)...
设f(x)在【0,a】上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=f(a),求证:存在 ζ∈(0
,a),使得f( ζ)=f( ζ+a) 展开
,a),使得f( ζ)=f( ζ+a) 展开
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推荐于2016-11-20 · 知道合伙人教育行家
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题目有误,应改为:
已知:设f(x)在 [0,2a] 上连续,在(0,2a)内可导,且f(0)=f(2a),
求证:存在 ζ∈ [0,a],使得f( ζ)=f( ζ+a) 。
证明:令 F(x) = f(x)-f(x+a) ,
由已知可得,F(x) 在 [0,a] 上连续,在(0,a)上可导,
并且 F(0) = f(0)-f(a) = f(2a)-f(a) = -[f(a)-f(2a)] = -F(a) ,
如果 F(0) = -F(a) = 0 ,取 ζ = 0 则结论成立;
如果 F(0) = -F(a) ≠ 0 ,则 F(0)*F(a) < 0 ,
由零点存在定理知,存在 ζ∈(0,a) 使 F(ζ) = 0 ,即 f(ζ) - f(ζ+a) = 0 ,
所以 f(ζ) = f(ζ+a) 。
已知:设f(x)在 [0,2a] 上连续,在(0,2a)内可导,且f(0)=f(2a),
求证:存在 ζ∈ [0,a],使得f( ζ)=f( ζ+a) 。
证明:令 F(x) = f(x)-f(x+a) ,
由已知可得,F(x) 在 [0,a] 上连续,在(0,a)上可导,
并且 F(0) = f(0)-f(a) = f(2a)-f(a) = -[f(a)-f(2a)] = -F(a) ,
如果 F(0) = -F(a) = 0 ,取 ζ = 0 则结论成立;
如果 F(0) = -F(a) ≠ 0 ,则 F(0)*F(a) < 0 ,
由零点存在定理知,存在 ζ∈(0,a) 使 F(ζ) = 0 ,即 f(ζ) - f(ζ+a) = 0 ,
所以 f(ζ) = f(ζ+a) 。
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