Question

已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M（2，1），离心率为 3 2 ．如图，平

已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M（2，1），离心率为 3 2 ．如图，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B．（1）当直线l经过椭圆C的左焦点时，求直线l的方程；（2）证明：直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．

Answer 1

（1）∵e= c a = 3 2 ，∴设椭圆方程为 x 2 4 b 2 + y 2 b 2 =1 ， 将M（2，1）代入，得 4 4 b 2 + 1 b 2 =1 ，解得b 2 =2， 所以椭圆C的方程为 x 2 8 + y 2 2 =1 ， 因此左焦点为（- 6 ，0），斜率 k 1 = k OM = 1 2 ， 所以直线l的方程为y= 1 2 （x+ 6 ），即y= 1 2 x+ 6 2 ． （2）证明：设直线MA，MB的斜率分别为k 1 ，k 2 ，A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 则 k 1 = y 1 -1 x 1 -2 ， k 2 = y 2 -1 x 2 -2 ， ∴k 1 +k 2 = y 1 -1 x 1 -2 + y 2 -1 x 2 -2 = ( y 1 -1)( x 2 -2)+( y 2 -1)( x 1 -2) ( x 1 -2)( x 2 -2) = ( 1 2 x 1 +m-1)( x 2 -2)+( 1 2 x 2 +m-1)( x 1 -2) ( x 1 -2)( x 2 -2) = x 1 x 2 +(m-2)( x 1 + x 2 )-4(m-1)   ( x 1 -2)( x 2 -2) ，（*） 设l：y= 1 2 x +m，由 y= 1 2 x+m x 2 8 + y 2 2 =1 ，得x 2 +2mx+2m 2 -4=0， 所以x 1 +x 2 =-2m， x 1 x 2 =2 m 2 -4 ， 代入（*）式，得 k 1 +k 2 = 2 m 2 -4+(m-2)(-2m)-4(m-1) ( x 1 -2)( x 2 -2) = 2 m 2 -4-2 m 2 +4m-4m+4 ( x 1 -2)( x 2 -2) =0． 所以直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．