Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x 3 +ax 2 -x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为 (- 1 3 ，1)

已知f（x）=xlnx，g（x）=x 3 +ax 2 -x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为 (- 1 3 ，1) ，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）g′（x）=3x 2 +2ax-1由题意3x 2 +2ax-1＜0的解集是 (- 1 3 ，1) 即3x 2 +2ax-1=0的两根分别是 - 1 3 ，1 ． 将x=1或 - 1 3 代入方程3x 2 +2ax-1=0得a=-1． ∴g（x）=x 3 -x 2 -x+2．（4分） （II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x 2 -2x-1，∴g′（-1）=4， ∴点p（-1，1）处的切线斜率k=g′（-1）=4， ∴函数y=g（x）的图象在点p（-1，1）处的切线方程为： y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．（8分） （III）∵2f（x）≤g′（x）+2 即：2xlnx≤3x 2 +2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立 可得 a≥lnx- 3 2 x- 1 2x 对x∈（0，+∞）上恒成立 设 h(x)=lnx- 3 2 x- 1 2x ，则 h′(x)= 1 x - 3 2 + 1 2 x 2 =- (-1)(3x+1) 2 x 2 令h′（x）=0，得 x=1，x=- 1 3 （舍） 当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0 ∴当x=1时，h（x）取得最大值-2 ∴a≥-2． ∴a的取值范围是[-2，+∞）．（13分）