Question

已知函数f(x)＝e x ，x∈R.(1)若直线y＝kx＋1

已知函数f(x)＝e x ，x∈R.(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；(2)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx 2 (m>0)公共点的个数．

Answer 1

（1）k＝ （2）若0<m< ，曲线y＝f(x)与y＝mx 2 没有公共点；若m＝ ，曲线y＝f(x)与y＝mx 2 有一个公共点；若m> ，曲线y＝f(x)与y＝mx 2 有两个公共点

(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x. 设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x的图像在P(x 0 ，y 0 )处相切，则有y 0 ＝kx 0 ＋1＝ln x 0 ，k＝g′(x 0 )＝ ， 解得x 0 ＝e 2 ，k＝ . (2)曲线y＝e x 与y＝mx 2 的公共点个数等于曲线y＝ 与直线y＝m的公共点个数． 令φ(x)＝ ，则φ′(x)＝ ，∴φ′(2)＝0. 当x∈(0，2)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0，2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增． ∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝ . 综上所述，当x>0时，大致图像如图所示， 若0<m< ，曲线y＝f(x)与y＝mx 2 没有公共点； 若m＝ ，曲线y＝f(x)与y＝mx 2 有一个公共点； 若m> ，曲线y＝f(x)与y＝mx 2 有两个公共点