Question

已知二次函数f（x）=x 2 +x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C，（Ⅰ）求集合C；（Ⅱ）若方程f（a

已知二次函数f（x）=x 2 +x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C，（Ⅰ）求集合C；（Ⅱ）若方程f（a x ）-a x+1 =5（a＞0，a≠1）在C上有解，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记f（x）在C上的值域为A，若 ，x∈[0，1]的值域为B，且 ，求实数t的取值范围。

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Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）+f（-x）=2x 2 ， 当x ≥0时， ； 当x＜0时， ； ∴集合C=[-1 ，1] 。 （Ⅱ） ， 令a x =u， 则方程为h（u）=u 2 -（a-1）u-5=0，h（0）=-5， 当a＞1时， ，h（u）=0在 上有解， 则 ； 当0＜a＜1时， ，g（u）=0在 上有解， 则 ； ∴当 或a≥5时，方程在C上有解，且有唯一解。 （Ⅲ） ，g′（x）=3x 2 -3t， ①当t≤0时，g′（x）≥0，函数 在x∈[0，1]单调递增， ∴函数g（x）的值域 ， ， ∴ ，解得 ，即 ； ②当t ≥1，g′（x ）≤0 ，函数g（x）在区间[0，1] 单调递减， ， ∴ ， 又t≥1， 所以t≥4； ③当0＜t＜1时，令g′（x）=0得 （舍去负值）， 当 时，g′（x）＞0；当 时，g′（x）＜0， ∴函数g（x）在 单调递增，在 单调递减，g（x）在 达到最小值； 要使 ，则 ，无解； 综上所述：t的取值范围是 。