Question

高数 f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则下述结论正确的是_____

b.f(x)在x0未必可微
d.lim(x→x0) [f(x)^2-f(x0)^2]/(x-x0)=2f(x0)f'(x0)
b是错的，d是对的，希望解释下

Answer 1

设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x[0]处存在导数y'=f'(x),则称y在x=x[0]处可导。
如果一个函数在x[0]处可导，那么它一定在x[0]处是连续函数
如果一个函数在x[0]处连续，那么它在x[0]处不一定可导
函数可导定义：
（1）若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时,[f(x+a)-f(x)]/a存在极限,则称f(x)在x0处可导.
（2）若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导.
函数可导的条件
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来

一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。
多元函数可微必可导，而反之不成立。
即：
在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；
在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。