Question

已知：函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＞0；对于任意的x，y∈[0，+∞），都有f（x+y）=

已知：函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＞0；对于任意的x，y∈[0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，则不等式f（x）＜6的解集为______．

Answer 1

任取0≤x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），即f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，．
由f（x+y）=f（x）+f（y）、f（1）=2得，
f（2）=f（1）+f（1）=4，则f（3）=f（1）+f（2）=6，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴不等式f（x）＜6等价转化为f（|x|）＜f（3），
根据f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，
∴|x|＜3，解得-3＜x＜3，
则不等式f（x）＜6的解集为：（-3，3），
故答案为：（-3，3）．