利用自然对数的底数e（e=2.71828…）构建三个基本初等函数y＝ex，y＝lnx，y＝ex(x＞0)．探究发现，它们具
利用自然对数的底数e（e=2.71828…）构建三个基本初等函数y＝ex，y＝lnx，y＝ex(x＞0)．探究发现，它们具有以下结论：三个函数的图象形成的图形（如图）具有...
利用自然对数的底数e（e=2.71828…）构建三个基本初等函数y＝ex，y＝lnx，y＝ex(x＞0)．探究发现，它们具有以下结论：三个函数的图象形成的图形（如图）具有“对称美”；图形中阴影区A的面积为1等．M，N是函数图象的交点．（Ⅰ）根据图形回答下列问题：①写出图形的一条对称轴方程；②说出阴影区B的面积；③写出M，N的坐标．（Ⅱ）设f(x)＝ex?lnx+ex，证明：对任意的正实数x1，x2，都有f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22)．
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（Ⅰ）∵y＝
（x＞0）的图象是反比例函数y＝
（x≠0）的图象位于第一象限内的一支，
∴y＝
（x＞0）的图象关于直线y=x对称．
又y=ex，y=lnx=logex互为反函数，它们的图象关于直线y=x互相对称，从而可知：
①三个函数的图象形成的图形的一条对称轴方程为y=x．
②阴影区A、B关于直线y=x对称，故阴影区B的面积为1．
③M（1，e），N（e，1）．（6分）
（Ⅱ）由于
＝
＝
，f(
)＝e
+
?ln
＝e
+
?ln
，
?f(
)＝
?e
?
+ln
=
?e
+
?
+ln
?
=
+
?
+ln
?ln
=
+
?e+ln
?ln<
| e |
| x |
| e |
| x |
∴y＝
| e |
| x |
又y=ex，y=lnx=logex互为反函数，它们的图象关于直线y=x互相对称，从而可知：
①三个函数的图象形成的图形的一条对称轴方程为y=x．
②阴影区A、B关于直线y=x对称，故阴影区B的面积为1．
③M（1，e），N（e，1）．（6分）
（Ⅱ）由于
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
ex1+
| ||||
| 2 |
ex1+ex2+
| ||||
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| e | ||
|
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 2e |
| x1+x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
ex1+ex2+
| ||||
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 2e |
| x1+x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| ex1+ex2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| ||||
| 2 |
| 2e |
| x1+x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| ln(x1x2) |
| 2 |
=
ex1+ex2?2
| ||
| 2 |
| (x1+x2)e |
| 2x1x2 |
| 2e |
| x1+x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x1x2 |
ex1+ex2?2
| ||
| 2 |
| (x1+x2)2?4x1x2 |
| 2x1x2(x1+x2) |
| x1+x2 |
| 2 |
