Question

数列{an}为等比数列，公比为q，a2=6，6a1+a3=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若a1＞q，求数{nan}的

数列{an}为等比数列，公比为q，a2=6，6a1+a3=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若a1＞q，求数{nan}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵等比数列{a_n}的公比为q，a₂=6，6a₁+a₃=30，
∴6×

a2

q

+a₂q=30，即

36

q

+6q=30，
解得q=2或q=3．
当q=2时，a₁=3，a_n=3×2^n-1，
当q=3时，a₁=2，a_n=2×3^n-1；
∴a_n=3×2^n-1或a_n=2×3^n-1；
（2）∵a₁＞q，
∴a₁=3，q=2，a_n=3×2^n-1，
∴数{na_n}的前n项和S_n=3?2⁰+6?2¹+9?2²+…+3n?2^n-1，①
2S_n=3?2¹+6?2²+9?2³+…+3（n-1）?2^n-1+3n?2ⁿ，②
①-②得：-S_n=3?（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）-3n?2ⁿ，
∴S_n=-3×

1?2n

1?2

+3n?2ⁿ
=（3n-3）?2ⁿ+3．