已知定义在R上的函数f(x)=ax3-2ax2+b(a>0)在区间[-2,1]上的最大值是5,最小值是-11.(Ⅰ)求函数f
已知定义在R上的函数f(x)=ax3-2ax2+b(a>0)在区间[-2,1]上的最大值是5,最小值是-11.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若t∈[-1,1]时,f...
已知定义在R上的函数f(x)=ax3-2ax2+b(a>0)在区间[-2,1]上的最大值是5,最小值是-11.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若t∈[-1,1]时,f'(x)+tx≤0恒成立,求实数x的取值范围.
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(Ⅰ)∵f(x)=ax3-2ax2+b,
∴f'(x)=3ax2-4ax=ax(3x-4)
令f'(x)=0,得x1=0,x2=
?[?2,1]
因为a>0,所以可得下表:
因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,因此b=5,
∵f(-2)=-16a+5,f(1)=-a+5,∴f(1)>f(-2),
即f(-2)=-16a+5=-11,∴a=1,
∴f(x)=x3-2x2+5
(Ⅱ)∵f'(x)=3x2-4x,∴f'(x)+tx≤0等价于3x2-4x+tx≤0,
令g(t)=xt+3x2-4x,则问题就是g(t)≤0在t∈[-1,1]上恒成立时,求实数x的取值范围,
为此只需
,即
,
解得0≤x≤1,所以所求实数x的取值范围是[0,1].
∴f'(x)=3ax2-4ax=ax(3x-4)
令f'(x)=0,得x1=0,x2=
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因为a>0,所以可得下表:
因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,因此b=5,
∵f(-2)=-16a+5,f(1)=-a+5,∴f(1)>f(-2),
即f(-2)=-16a+5=-11,∴a=1,
∴f(x)=x3-2x2+5
(Ⅱ)∵f'(x)=3x2-4x,∴f'(x)+tx≤0等价于3x2-4x+tx≤0,
令g(t)=xt+3x2-4x,则问题就是g(t)≤0在t∈[-1,1]上恒成立时,求实数x的取值范围,
为此只需
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解得0≤x≤1,所以所求实数x的取值范围是[0,1].
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