Question

线性代数：求A的正交相似标准形。

解题思路是什么？？

Answer 1

根据题意，只需求出A的特征值，由A的特征值组成的对角形就是A的正交相似标准形。无需求特征向量。
特征值为：1、1、6、6
故A的正交相似标准形为：diag(1,1,6,6)

Answer 2

第一步. 计算A的特征多项式f(x)=|xE-A|=(x-1)^2(x-6)^2, 从而A的特征值为x_1=1,x_2=6
第二步 求特征值的线性无关的特征向量
特征值1的特征向量满足(E-A)X=0, 解方程组得到:X_1=(1,2,0,0)^T,X_2=(0,0,1,2)^T.
特征值6的特征向量满足(6E-A)X=0, 解方程组得到:X_3=(2,-1,0,0)^T,X_4=(0,0,2,-1)^T.
第三步 将上面的特征向量做施密特正交化处理. 由于X_1,X_2,X_3,X_4是正交向量组, 所以只需要进行单位化即可, 令Y_i=(1/√5)X_i (i=1,2,3,4).
第四步 以Y_1, Y_2,Y_3,Y_4为列构造4行4列的方阵Q, 则 Q是正交矩阵, 且Q^TAQ=diag(1,1,6,6)(主对角线上分别为1,1,6,6的对角阵), 即得到A的正交相似标准形.

望采纳!