Question

数列﹛an﹜的前n项和为Sn=2an-2，数列﹛bn﹜是首项为a1，公差不为零的等差数列，

且b1，b3，b11成等比数列。
（1）求a1，a2，a3的值
（2）求数列﹛an﹜与﹛bn﹜的通项公式
（3）求证：b1/a1+b2/a2+b3/a3+.....+bn/an＜5

Answer 1

（1）a1=S1=2a1-2
a1=2
a2=S2-a1=2a2-2-2
a2=4
a3=S3-a2-a1=2a3-2-4-2
a3=8
所以a1=2 a2=4 a3=8
（2）an=Sn-S(n-1)=2an-2-[2a(n-1)-2]=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
a1=2
所以an=2^n
设bn=2+(n-1)d
b1=2 b3=2+2d b11=2+10d
因为b1 b3 b11成等比数列
所以(2+2d)^2=2(2+10d)
1+2d+d^2=1+5d
d^2-3d=0
d=3或0（舍去）
所以bn=2+3(n-1)=3n-1
所以an=2^n bn=3n-1
（3）令Tn=bn/an Bn=T1+T2+...+Tn
Tn=(3n-1)/2^n
Bn=2/2^1+5/2^2+...+(3n-1)/2^n
2Bn=2/2^0+5/2^1+...+(3n-1)/2^(n-1)
所以2Bn-Bn=2+3[1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)]-(3n-1)/2^n
Bn=2+3*(1/2)*[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)-(3n-1)/2^n
=2+3-3/2^(n-1)-(3n-1)/2^n
=5-3/2^(n-1)-(3n-1)/2^n
因为3/2^(n-1)>0且(3n-1)/2^n>0
所以Bn<5
即b1/a1+b2/a2+b3/a3+.....+bn/an＜5