Question

若函数f(x)=x²+ax+1/x在(1/2.正无穷）是增函数，则a的取值范围是？

若函数f(x)=x²+ax+1/x在(1/2.正无穷）是增函数，则a的取值范围是？没有学习过求导。别用求导，最好像耐克函数那样的画图像来解题

Answer 1

对任意的

1/2<x1<x2

f(x1)-f(x2)=(x1^2-x2^2)+a(x1-x2)+(1/x1-1/x2)

=(x1-x2)(x1+x2)+a(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)

=(x1-x2)[(x1+x2)+a- (1/x1x2)]

因为f(x)是增函数，所以，

f(x1)-f(x2)<0

而(x1-x2)<0

所以，

(x1+x2)+a-(1/x1x2)>0 恒成立；

a>1/(x1x2)-(x1+x2)

恒大问题就是左边的a比右边的最大值还要大，

而右边

x1x1>1/2==>1/(x1x2)<2

(x1+x2)>1==>-(x1+x2)<-1

所以，

1/(x1x2)-(x1+x2)<1

所以a≥2+(-1)=1

a≥1,

注：这里可以取到等号的原因是右边取不到1