Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2） AE= 1 3 CE ．

Answer 1

证明：（1）连接OD，得OD ∥ AC； ∴∠BDO=∠A； 又OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB； ∴∠OBD=∠A； ∴BC=AC； 又∵AB=AC， ∴△ABC是等边三角形； （2）如上图，连接CD，则CD⊥AB； ∴D是AB中点； ∵AE= 1 2 AD= 1 4 AB， ∴EC=3AE； ∴AE= 1 3 CE．