Question

已知实数 x 、 y 满足方程 x 2 + y 2 －4 x +1=0.求（1） 的最大值和最小值；（2）

已知实数 x 、 y 满足方程 x 2 + y 2 －4 x +1=0.求（1） 的最大值和最小值；（2） y － x 的最小值；（3） x 2 + y 2 的最大值和最小值.

Answer 1

（1） k max = ， k min =－ .   （2）（ y － x ） min =－2－ . （3）2－

（1）如图，方程 x 2 + y 2 －4 x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以 为半径的圆. 设 = k ，即 y = kx ，由圆心（2，0）到 y = kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由 = ，解得 k 2 =3.所以 k max = ， k min =－ . （也可由平面几何知识，有 OC =2， OP = ，∠ POC =60°，直线 OP 的倾斜角为60°，直线 OP ′的倾斜角为120°解之） （2）设 y － x = b ，则 y = x + b ，仅当直线 y = x + b 与圆切于第四象限时，纵轴截距 b 取最小值.由点到直线的距离公式，得 = ，即 b =－2± ，故（ y － x ） min =－2－ . （3） x 2 + y 2 是圆上点与原点距离之平方，故连结 OC ，与圆交于 B 点，并延长交圆于 C ′，则（ x 2 + y 2 ） max =｜ OC ′｜=2+ ，（ x 2 + y 2 ） min =｜ OB ｜=2－ .