Question

设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交

设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于______．

Answer 1

解：不妨假设椭圆中的a=1，则F₁（-c，0），F₂（c，0），
当x=c时，由

x2

a2

+

y2

b2

=1得y=

b2

a

=b²，即A（c，b²），B（c，-b²），
设D（0，m），∵F₁，D，B三点共线，
∴

m

c

＝

b2

?2c

，解得m=-

b2

2

，即D（0，-

b2

2

），
∴若AD⊥F₁B，
在kAD?kF1B＝?1，
即

b2+ b2 2

c

?

?b2

?c?c

=-1，
即3b⁴=4c²，
则

3

b²=2c=

3

（1-c²）=2c，
即

3

c²+2c-

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