如图所示,△ABC内接于⊙O,AB是直径,D是AB上的点,BD交AC于E,已知AB=5,sin∠CAB=35,设CE=m,DEBE=k

如图所示,△ABC内接于⊙O,AB是直径,D是AB上的点,BD交AC于E,已知AB=5,sin∠CAB=35,设CE=m,DEBE=k.(1)试用含m的代数式表示k;(2... 如图所示,△ABC内接于⊙O,AB是直径,D是AB上的点,BD交AC于E,已知AB=5,sin∠CAB=35,设CE=m,DEBE=k.(1)试用含m的代数式表示k;(2)当AD∥OC时,求k的值;(3)当BE=6DE时,求CD的长.(参考数据:tan6°≈110,tan7°≈18,tan8°≈17,结果保留π) 展开
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解:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AB=5,sin∠CAB=
3
5

∴BC=3,AC=4,
又∵BE2=m2+9,BE?DE=AE?CE,
∴k?BE2=m(4-m),即k=
m(4?m)
m2+9


(2)∵AD∥OC,∴∠DAC=∠OCA,
∵∠OAC=∠OCA,∠DAC=∠EBC,
∴∠OAC=∠EBC,
又∵∠ACB=∠BCE,
∴△ABC∽△BEC,
∴BC:EC=AC:BC,即3:m=4:3,
解得m=
9
4

∴k=
m(4?m)
m2+9
=
9
4
×(4?
9
4
)
(
9
4
)2+9
=
7
25


(3)∵BE=6DE,即k=
1
6

m(4?m)
m2+9
=
1
6

解得m1=3,m2=
3
7

①当m=3时,CE=BC=3,
∴∠CBE=45°,
∴∠COD=2∠CBE=90°,
CD
的长为:
90π×
5
2
180
=
5
4
π;
②当m=
3
7
时,tan∠CBE=
CE
BC
=
3
7
3
=
1
7

∴∠CBE≈8°,
∴∠COD=2∠CBE=16°,
CD
的长约为:
16π×
5
2
180
=
2
9
π.
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