Question

定义域为R的函数y=f（x），若对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x

定义域为R的函数y=f（x），若对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数为“H函数”，现给出如下函数：①y=-x3+x+1②y=3x-2（sinx-cosx）③y=ex+1④f(x)＝ln|x|，x≠00，x＝0其中为“H函数”的有（　　）A．①②B．③④C．②③D．①②③

Answer 1

∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①函数y=-x³+x+1，则y′=-3x²+1，当x＜-

3

3

，或x＞

3

3

时，y′＜0，此时函数为减函数，不满足条件．
②y=3x-2（sinx-cosx），y′=3-2（cosx+sinx）＞0，函数单调递增，满足条件．
③y=e^x+1为增函数，满足条件．
④f（x）=f(x)＝

ln|x|，x≠0 0，x＝0

，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为②③，
故选：C