如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E,连接DE.(1)求证:AC=AE;(2...
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E,连接DE.(1)求证:AC=AE; (2)求线段DE的长; (3)求△ABC的外接圆的面积.
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解答:(1)证明:∵∠ACB=90°,且∠ACB为圆O的圆周角(已知),
∴AD为圆O的直径(90°的圆周角所对的弦为圆的直径),
∴∠AED=90°(直径所对的圆周角为直角),
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分线(已知),
∴∠CAD=∠EAD(角平分线定义),
∴CD=DE(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等),
在Rt△ACD和Rt△AED中,
,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等);
(2)解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,
∴AB=
=
=13,
设DE=x,则BD=12-x,BE=13-5=8,
故x2+82=(12-x)2,
解得:x=
,
故DE的长为:
;
(3)解:由(2)得:△ABC外接圆的半径=
AB=
×13=
,
故△ABC的外接圆的面积为:π×(
)2=
π.
∴AD为圆O的直径(90°的圆周角所对的弦为圆的直径),
∴∠AED=90°(直径所对的圆周角为直角),
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分线(已知),
∴∠CAD=∠EAD(角平分线定义),
∴CD=DE(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等),
在Rt△ACD和Rt△AED中,
|
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等);
(2)解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,
∴AB=
AC2+CB2 |
52+122 |
设DE=x,则BD=12-x,BE=13-5=8,
故x2+82=(12-x)2,
解得:x=
10 |
3 |
故DE的长为:
10 |
3 |
(3)解:由(2)得:△ABC外接圆的半径=
1 |
2 |
1 |
2 |
13 |
2 |
故△ABC的外接圆的面积为:π×(
13 |
2 |
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