Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE； （2）求线段DE的长； （3）求△ABC的外接圆的面积．

Answer 1

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），
∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），
∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分线（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），
∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，

CD＝ED AD＝AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，
∴AB=

AC2+CB2

=

52+122

=13，
设DE=x，则BD=12-x，BE=13-5=8，
故x²+8²=（12-x）²，
解得：x=

10

3

，
故DE的长为：

10

3

；

（3）解：由（2）得：△ABC外接圆的半径=

1

2

AB=

1

2

×13=

13

2

，
故△ABC的外接圆的面积为：π×（

13

2

）²=

169

4

π．