Question

已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点K（0，-1）的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D．（Ⅰ）

已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点K（0，-1）的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设FA?FB=89，求∠DBK的平分线与y轴的交点坐标．

Answer 1

（Ⅰ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（-x₁，y₁），直线l的方程为y=kx-1，
由

y＝kx?1 x2＝4y

得x²-4kx+4=0，
从而x₁+x₂=4k，x₁x₂=4． 
直线BD的方程为y?y1＝

y2?y1

x2+x1

(x+x1)，
即y?

x12

4

＝

x2?x1

4

(x+x1)，
令x=0，得y＝

x1x2

4

＝1，
所以点F在直线BD上．
（Ⅱ）解：因为

FA

?

FB

＝(x1，y1?1)?(x2，y2?1)
=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=8-4k²，
 故8?4k2＝

8

9

，解得k＝±

4

3

，
所以直线l的方程为4x-3y-3=0，4x+3y+3=0．
又由（Ⅰ）得x2?x1＝±

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