Question

不定方程求助

x^2+5y^2=a^2
x^2+10y^2=b^2
其中x，y，a，b，均为正整数。
求x,y,a,b的所有解。
(其实我一个都没解出来)
要求严谨详细的步骤。

Answer 1

这个问题是很难的, 你确定"稍加演算就能得出"就是指的这个问题, 而没有其它条件?

设r = a/x, s = b/x, t = y/x, 易见:
求x²+5y² = a², x²+10y² = b²的正整数解等价于求r²-5t² = 1, s²-10t² = 1的正有理数解.
设u = 5(s-1)/(2r-s-1), v = 50t/(2r-s-1), 可验证v² = u³-25u,
且有r = (v²+50u)/(v²-10u²), s = (v²+10u²)/(v²-10u²), t = (2uv)/(v²-10u²) (过程略).
因此r²-5t² = 1, s²-10t² = 1的有理解一一对应于v² = u³-25u的有理解(除去分母得零的情况外).
问题可基本等价的变为求v² = u³-25u的全体有理解.

由方程v² = u³-25u给出的曲线属于一类称为椭圆曲线的代数曲线(注意不是椭圆),
是数学中很重要的一类研究对象, 关于其有理点有很深刻的理论.
设P(u₁,v₁), Q(u₂,v₂)是其上的点(u₁ ≠ u₂),
可知直线PQ的方程是v = κu+λ, 其中κ = (v₂-v₁)/(u₂-u₁), λ = (v₁u₂-v₂u₁)/(u₂-u₁).
可算得PQ与曲线的第三个交点坐标为(κ²-u₁-u₂,κ³-κu₁-κu₂+λ)
u₃ = κ²-u₁-u₂, v₃ = -κ³+κu₁+κu₂-λ, 则(u₃,v₃)也是曲线上的点,
且当P, Q均为有理点, 可知(u₃,v₃)也是有理点.
这样定义了曲线上有理点的一种"加法"(u₁ = u₂的情况也可定义, 细节略),

使得我们可以从几个有理点出发, 得到更多的有理点.
对于曲线v² = u³-25u, 不难找到有理点T₁(0,0), T₂(5,0), T₃(-5,0).
此外, P(25/4,75/8)也是其上的有理点.
可以证明(很难), 曲线上的全体有理点具有[k]P+T的形式,
其中k为整数, [k]P表示P在上述加法下的k个P相加的结果, T是T₁, T₂, T₃之一或者O(不加).

这样可以写出曲线上的无穷多个有理点, 对应原方程的无穷多组既约的正整数解.
但是不能指望有闭形式的通解表达式(只能用[k]P+T这样的形式表示), 证明也不是一般的难.
所以你大概是少了条件或者误会书上的意思了.

下面列几个曲线v² = u³-25u上的有理点, 作为问题难度的佐证:
P = (25/4,75/8);
[2]P = (1681/144,-62279/1728);
[3]P = (127351225/2439844,1430549626725/3811036328);
[4]P = (11183412793921/2234116132416,1791076534232245919/3339324446657665536).
由这些u, v算出的r, s, t依次为:
(-41/31,-49/31,-12/31), 对应正整数解(x,y,a,b) = (31k,12k,41k,49k);
(-3344161/113279, -4728001/113279, 1494696/113279),
对应正整数解(x,y,a,b) = (113279k,1494696k,3344161k,4728001k).
后面两个数字太大就不写了, 总之即便是既约的正整数解也有无穷多组.

Answer 2

第二个式子-第一个式子 得 5y^2==b^2-a^2
∴b^2-a^2＞0且为五的倍数
∴b＞a
（用配凑法）
3²=9 2²=4 9-4=5符合
4²=16 3²=9 16-9=15符合
...
（可以找出很多，再带进去算就好了）

Answer 3

写个程序算 1000以内的帮你算出来了:
import math
for x in range(1,1000):
for y in range(1,1000):
f1=math.sqrt(x*x+5*y*y)
f3=int(f1)
f2=math.sqrt(x*x+10*y*y)
f4=int(f2)
if(f1==f3):
if(f2==f4):
print(x,y,f1,f2)

(31 12 41 49)*k 属于正整数
31 12 41 49
62 24 82 98
93 36 123 147
124 48 164 196
155 60 205 245
186 72 246 294
217 84 287 343
248 96 328 392
279 108 369 441
310 120 410 490
341 132 451 539
372 144 492 588
403 156 533 637
434 168 574 686
465 180 615 735
496 192 656 784
527 204 697 833
558 216 738 882
589 228 779 931
620 240 820 980
651 252 861 1029
682 264 902 1078
713 276 943 1127
744 288 984 1176
775 300 1025 1225
806 312 1066 1274
837 324 1107 1323
868 336 1148 1372
899 348 1189 1421
930 360 1230 1470
961 372 1271 1519
992 384 1312 1568

Answer 4

这个方程组需要运用平方数定理解答。
x，y，a，b都是偶数，且b>a>x>y。

给你答案作参考吧：
x=124，y=48，a=164，b=196。

124×124+48×48×5=164×164
124×124+48×48×10=196×196

追问

你是说二次剩余定理？
数论方面我也熟悉。而且我也以为是用数轮的知识来给出一些解。
但是具体不知道怎么下手。
你能把数论的方法写一下吗（只用求出一组平凡解就可以了）

Answer 5

x^2+5y^2=a^2; a=±(x^2+5y^2)^(1/2)
x^2+10y^2=b^2; b=±(x^2+10y^2)^(1/2)

x²=2a²-b²;x=±(2a²-b²)^(1/2)
5y²=b²-a²; y=±[(b²-a²)/5]^(1/2)
x,y,a,b 都是正整数
∴2a²-b²>0
b²-a²>0
得a<b<√2a

追问

你在做个什么噢。错完了
题目没法理解吗？是求解，不是求a b之间的不等关系。
哪有那么简单。

百度真是幽默，如此的错误答案，居然还是推荐答案!?

追答

有4个未知数,两个方程,解什么?

追问

平凡解或者你可以的话也可以写出通解啊

追答

x^2+5y^2=a^2; a=±(x^2+5y^2)^(1/2)
x^2+10y^2=b^2; b=±(x^2+10y^2)^(1/2)
x^2=2a^2-b^2; x=±(2a^2-b^2)^(1/2)
y^2=(1/5)*(b^2-a^2); y=±[(1/5)*(b^2-a^2)]^(1/2)