Question

数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=[1+cos2(nπ/2)]an+sin2(nπ/2)则该数列的前20项

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Answer 1

a(n+2)=(1+[cos(nπ/2)]^2)an+[sin(nπ/2)]^2

when n is even
a(n+2) = (1+[cos(nπ/2)]^2)an+[sin(nπ/2)]^2
= 2an
an/a(n-2) =2
an/a2 = 2^[(n-2)/2]
an = 2^(n/2)
ie
a2+a4+a6+...+a20 = 2^1+2^2+...+2^10
= 2(2^10-1)

when n is odd
a(n+2) = (1+[cos(nπ/2)]^2)an+[sin(nπ/2)]^2
= an + 1
an - a(n-2) =1
an -a1 = (n+1)/2 -1
an =(n+1)/2
ie
a1+a3+a5+...+a19 = 1 + 2+...+10
= 55
a1+a2+a3+...+a20 = 2(2^10-1) +55
= 53 + 2^11

Answer 2

当n为奇数时，cos(nπ/2)=0，sin(nπ/2)=±1
所以a(n+2)=an+1
当n为偶数时，cos(nπ/2)=±1，sin(nπ/2)=0
所以a(n+2)=2an
因此a3=2,a5=3,a7=4,...,a19=10
a4=4,a6=8,a8=16,...a20=2^10

所以S20=(1+2+3+...+10)+(2+4+8+...+2^10)
=55+2^11-2=2101

追问

再问一题。。。已知数列{an}满足a1+a2+...+an=n-an，其中n正整数
令bn=（2-n）（an-1）求数列bn的最大值

追答

Sn=n-an
S(n-1)=n-1-a(n-1)
两式相减，得an=1-an+a(n-1)
即an-1=1/2(a(n-1)-1)
所以{an-1}是等比数列，公比为1/2
而a1=1-a1，即a1=1/2,，a1-1=-1/2
所以an-1=-1/2^n
bn=(n-2)/2^n
当n=1时bn最小，最小值为b1=-1/2