Question

数学平面几何问题求助，证明平行四边形。

如图，D、E是AB、AC上两点，且BD=CE，BD、CE相交于P。M是BC的中点，AQ是角BAC的平分线，与PM的延长线相交于Q。证明有平行四边形BQCP。

我是新高一学生，如果各位证明中用到了非初中学过的定理，还烦请附带说明。

Answer 1

图和解释不一样,应该是   BE、CD相交于P

不好意思,有事情,回复慢了

这个题型,用初等几何定律,应该不用高中方面的.但应该用动点角度来观察

采用逆过程证明:

首先作除了Q和与Q有关的直线以外,的图中任何元素的关于M点中心对称的图形如下

则不需证明D'E'P'A'C'B'等,以及它们对应的相应线段和角度的相等性吧

这里要说明,我们暂时忽略你原图上的Q点(反正暂时无关)

关键点是P'是P的对称点,暂时不考虑和Q的关系

延长AP'到K  (K在在A'C'上) 同样有对称点K'

由于相应角度和长度相等,很容易证明BP//CP' 以及CP//BP'

同时由于角度对称,角度和也相等,所以外围轮廓ABA'C也是一个平行四边形

再根据差角相等 因此AP'//A'P

 

由于本题不指定BD=CE的长度,即视为动点的有D和E,以及P等

在特定情况DB=AB时,有CE=AB 且不难看出P将在AC上即和E重合,此时P和E所在即图上K'点

请返回非动点角度

因此BK=AB和CK'=A'C

显然有∠BAK=∠BKA

由于AK//A'K' 有∠B'A'K'=∠BAK=∠BKA=∠BA'K'

因此A'K'是角平分线,同理AK是原图形∠BAC的的角平分线

则P'是角平分线上的一点

由于PM延长交AK这个直线,只有一点(直线定律)

因此P'就是题图上的Q

当然平行四边形原性质,完全代替

证毕

追问

您的方法好像有些复杂不好意思我看不大懂。
楼下的方法似乎更加简洁明了，所以对不起啦，我采纳楼下的了。

追答

没事,我只是怕你不懂梅涅劳斯定理,我初中时候是没这个定律的,呵呵
所以用了对称法和替换法,以及唯一反证法

Answer 2

需要用到梅涅劳斯定理和同一法
倍长PM到Q'.只需证明Q'和Q重合即可，即证明AQ'平分∠A
延长CQ，AB交于点N，由平行关系有AC/AN＝AE/AB
对三角形ACD及截线BPE使用梅涅劳斯定理可以得出AE/AB＝PD/CP
再由平行关系有PD/CP＝BD/BN＝CQ'/NQ'
故有AC/AN＝CQ'/NQ'由角平分线分线段成比例定理逆定理有AQ'平分角BAC故QQ'重合，证毕