Question

已知a+b=1，ab=-1，设S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn．（1）计算S2、S3、S4的值；（2）写出Sn

已知a+b=1，ab=-1，设S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn．（1）计算S2、S3、S4的值；（2）写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系式；（3）根据以上得出的结论，计算a7+b7的值．

Answer 1

（1）∵S₂=a²+b²=（a+b）²-2ab=3；
∵（a²+b²）（a+b）=a³+ab²+a²b+b³=a³+b³+ab（a+b），
∴3×1=a³+b³-1，
∴a³+b³=4，即S₃=4，
∵S₄=（a²+b²）²-2（ab）²=7，
∴S₄=7；

（2）∵S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₂+S₃=S₄，
∴S_n-2+S_n-1=S_n；
（3）∵S_n-2+S_n-1=S_n，S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₅=4+7=11，
∴S₆=7+11=18，
∴S₇=11+18=29．