Question

底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD ，点 E 在 PD 上，且 PE ∶ ED =2∶1. 问:在棱 PC 上是否存在一点 F ,

底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD ，点 E 在 PD 上，且 PE ∶ ED =2∶1. 问:在棱 PC 上是否存在一点 F ,使 BF ∥面 AEC ?证明你的结论.

Answer 1

连结 BD 交 AC 于 O 点,连结 OE ,过 B 点作 OE 的平行线交 PD 于点 G ,过 G 作 GF ∥ CE ,交 PC 于点 F ,连结 BF . ∵ BG ∥ OE , 面 AEC ， 面 AEC , ∴ BG ∥面 AEC . 同理 GF ∥面 AEC . 又 BG ∩ GF = G , ∴面 BFG ∥面 AEC , 面 BFG . ∴ BF ∥面 AEC . 下面求一下点 F 在 PC 上的具体位置. ∵ BG ∥ OE , O 是 BD 中点, ∴ E 是 GD 中点. 又∵ PE ∶ E D=2∶1, ∴ G 是 PE 中点. 而 GF ∥ CE ,∴ F 为 PC 中点. 综上,存在点 F 是 PC 中点时,使 BF ∥面 AEC .

空间直线和平面