Question

抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线

抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

Answer 1

（1）由题意得：

?1?b+c＝0 c＝3

，
解得：

b＝2 c＝3

，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）令-x²+2x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴

b′＝3 3k+b′＝0

，
解得：

k＝?1 b′＝3

，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P（a，3-a），则D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
=

1

2

PD?a+

1

2

PD?（3-a）
=

1

2

PD?3
=

3

2

（-a²+3a）
=-

3

2

（a-

3

2

）²+

27

8

，
∴当a=

3

2

时，△BDC的面积最大，此时P（

3

2

，

3

2

）；

（3）由（1），y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，
当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴

MF

NH

＝

FN

HC

，
设FN=n，则NH=3-n，
∴

1?m

3?n

＝

n

1

，
即n²-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥?

5

4

且m≠1；
当M与F重合时，m=1；
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：-

5

4

≤m≤5．