Question

（2013?松江区模拟）已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一

（2013?松江区模拟）已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C，直线OB与圆P相交的另一个交点为D，cos∠AOB＝23（1）求：公共弦BC的长度；（2）如图，当点D在线段OB的延长线上时，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线PD与射线CB相交于点E，且△BDE与△BPE相似，求线段AP的长．

Answer 1

解答：解：（1）∵圆O与圆P相交于点B、C，
∴OP⊥BC，垂足为点H，且BH=CH，
在Rt△BOH 中，
∵OB=9，cos∠AOB=

2

3

=

OH

OB

，
∴OH=6，
∴BH=3

5

，
∴BC=6

5

；

（2）如图1，作PM⊥BD，垂足为点M．
由垂径定理，得BM=DM=

1

2

y，
∴cos∠AOB=

OM

OP

=

2

3

，即

1 2 y+9

x+9

=

2

3

，
∴y关于x的函数解析式为y=

4

3

x-6，
定义域为x＞

9

2

．

（3）（i）如图2，当点P在OA的延长线上时，
则△DBE∽△BPE，
∴∠DBE=∠BPE，
∵∠DBE=∠OBH，∠OPM=∠OBH，
∴∠BPE=∠OPM，
而∠BPM=∠DPM，
∴∠OPB=∠BPM=∠DPM，
∴BM=BH，即BD=BC，
∴

4

3

x-6=6

5

，
解得x=

9

2

5

+

9

2

，即AP=

9

2

5

+

9

2

；
（ii）如图3，当点P在线段OA上时，
作PN⊥BD，垂足为点N．
则△BDE∽△PBE，
∴∠BDE=∠PBE，
∵PD=PB，
∴∠BDP=∠DBP．
∴∠PBE=∠DBP．
∴PH=PN．
∴BD=BC． 
∵BN=DN，∴ON=9-

1

2

BD，
∴cos∠AOB=

9? 1 2 DB

9?AP

=

2

3

，
整理，得BD=

4

3

AP+6，
∴

4

3

AP+6=6

5

，
解得AP=

9

2

5

-

9

2

，
综上所述，线段AP的长为

9

2

5

+

9

2

或

9

2

5

-

9

2

．