Question

（2014?平房区二模）如图，点O为∠APB角平分线上一点，半径为2的⊙O切PA于A点，AP=4．（1）求证：PB是⊙O

（2014?平房区二模）如图，点O为∠APB角平分线上一点，半径为2的⊙O切PA于A点，AP=4．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若连接两切点交OP于点C，△APC沿AC翻折AP的对应线段AQ交⊙O于点E，求AE的长．

Answer 1

解答：（1）证明：过点O作OB⊥PB，连接AO，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
在△PAO和△PBO中

∠OAP＝∠OBP ∠APO＝∠BPO PO＝PO

，
∴△PAO≌△PBO（AAS），
∴AO=BO，∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵∠PAO=90°，AO=2，PA=4，
∴PO=2

5

，
∵PA，PB是⊙O的切线，∠APO=∠OPB，
∴PA=PB，PC⊥AB，
∴AC×PO=AO×PA，
∴AC=

2×4

2 5

=

4 5

5

，
∴tan∠APO=

AO

AP

=

1

2

，
∵∠APO=∠Q，
∴CQ=2×AC=

8 5

5

，
∵AO=2，
∴CO=

AO2?AC2

=

2 5

5

，
∴FQ=

8 5

5

-2-

2 5

5

=

6 5

5

-2，
∴NQ=

6 5

5

-2+4=

6 5

5

+2，
∵EQ×AQ=FQ×QN，
∴设AE=x，则4（4-x）=（

6 5

5

-2）×（

6 5

5

+2）
解得：x=

16

5

，
即AE的长为

16

5

．