Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（2n+1）an+2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn．求满足不等式Tn?22n?1＞2010的n的最小值．

Answer 1

解答：（1）证明：当n=1时，2a₁=a₁+1，∴a₁=1．
∵2a_n=S_n+n，n∈N^*，∴2a_n-1=S_n-1+n-1，n≥2，
两式相减得a_n=2a_n-1+1，n≥2，即a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
∴数列{a_n+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*；
（2）解：b_n=（2n+1）a_n+2n+1=（2n+1）?2ⁿ，
∴T_n=3?2+5?2²+…+（2n+1）?2ⁿ，
∴2T_n=3?2²+5?2³+…+（2n+1）?2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-T_n=3?2+2?2²+2?2³+…+2?2ⁿ-（2n+1）?2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-1）?2ⁿ⁺¹+2
∴

Tn?2

2n?1

＞2010可化为2ⁿ⁺¹＞2010
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048
∴满足不等式

Tn?2

2n?1

＞2010的n的最小值为10．