Question

从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数，（1）求证：当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存

从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数，（1）求证：当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017．（2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．

Answer 1

（1）设x₁，x₂，x₃，x₁₀₀₇是1，2，3，2008中任意取出的1007个数．
首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，
每对数记作（m，2009-m），其中m=1，2，3，…，1004．
因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001的数对，至多为1001对，
因此至少有3对数，不妨记为（m₁，2009-m₁），（m₂，2009-m₂），（m₃，2009-m₃）（m₁，m₂，m₃互不相等）均为x₁，x₂，x₃，x₁₀₀₇中的6个数．
其次，将这2008个数中的2006个数（除1004、2008外）分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作（k，2008-k），其中k=1，2，1003．
2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是x₁，x₂，x₃，!x₁₀₀₇中的4个数，不妨记其中的一对为（k₁，2008-k₁）．
又在三对数（m₁，2009-m₁），（m₂，2009-m₂），（m₃，2009-m₃），（m₁，m₂，m₃互不相等）中至少存在1对数中的两个数与（k₁，2008-k₁）中的两个数互不相同，不妨设该对数为（m₁，2009-m₁），
于是m₁+2009-m₁+k₁+2008-k₁=4017．
（2）不成立．
当n=1006时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：
1003，1004，2008，
则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018＞4017；
当n＜1006时，同样从1，2，2008的n个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018＞4017．
所以n≤1006时都不成立．