Question

若函数f(x)=x²+2xtanθ-1在区间[-1,根号3]上为单调函数，则θ的取值范围是

Answer 1

f(x)=x^2+2xtanθ-1=(x+tanθ)^2-1-(tanθ)^2
只要对称轴不在[-1,根号3]即可
即当-tanθ≤-1
即tanθ≥1,
即π/4≤θ<π/2时
f(x)在[-1,√3]单调增
当-tanθ≥√3,
即tanθ≤-√3,
即-π/2<θ≤-π/3时f(x)在[-1,√3]单调减
综上所述:θ的取值范围(-π/2,-π/3]∪[π/4,π/2)

Answer 2

f(x)=x²+2xtanθ-1对称轴为x=-tanθ,要在[-1,√3]上单调，那么对称轴必须在区间之外，
-tanθ≥√3 或 -tanθ≤-1,
所以tanθ ≤ -√3或tanθ ≥ 1，
可知前者为-Π/2<θ≤-Π/3 ,后者为Π/4≤θ<Π/2,
所以θ∈(-π/2,-π/3]∪[π/4,π/2)

Answer 3

解：对称轴为x=-tanθ
∴ -tanθ≤-1 或-tanθ≥根号3
解得 θ∈【π/4+kπ，π/2+kπ）∪（-π/2+kπ，-π/3+kπ】