Question

平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为 6 （1）求圆O的方程；

平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为 6 （1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）问是否存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵圆心O到直线x-y+1=0的距离d= 1 2 ，直线截圆所得的弦长为 6 ， ∴圆O的半径r= ( 1 2 ) 2 +( 6 2 ) 2 = 2 ， 则圆O的方程为x 2 +y 2 =2； （2）设直线l的方程为 x a + y b =1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0， ∵直线l与圆O相切，∴圆心到直线的距离d=r，即 |ab| a 2 + b 2 = 2 ， 整理得： 1 a 2 + 1 b 2 = 1 2 ， 则DE 2 =a 2 +b 2 =2（a 2 +b 2 ）?（ 1 a 2 + 1 b 2 ）=2（2+ b 2 a 2 + a 2 b 2 ）≥8， 当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l方程为x+y-2=0； （3）存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，理由为： 设存在斜率为2的直线m满足题意， 设直线m为y=2x+b，A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 联立圆与直线解析式得： x 2 + y 2 =2 y=2x+b ， 消去y得：5x 2 +4bx+b 2 -2=0， 依题意得：x 1 +x 2 =- 4b 5 ，x 1 x 2 = b 2 -2 5 ，△＞0， ∵以AB为直径的圆经过原点， ∴ OA ⊥ OB ，∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0， 即x 1 x 2 +（2x 1 +b）（2x 2 +b）=5x 1 x 2 +2b（x 1 +x 2 ）+b 2 =5× b 2 -2 5 +2b×（- 4b 5 ）+b 2 =0， 整理得：b 2 =5， 解得：b=± 5 ，经检验△＞0，符合题意， 则存在斜率为2的直线m满足题意，直线m为：y=2x± 5 ．