Question

如图，在平面直角坐标中，矩形OABC，OA=4，AB=2，直线 y=-x+ 3 2 与坐标轴交于D，E两点，设M是

如图，在平面直角坐标中，矩形OABC，OA=4，AB=2，直线 y=-x+ 3 2 与坐标轴交于D，E两点，设M是AB的中点，P是线段DE上的动点．过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，梯形PMBH的面积是______．

Answer 1

设P（x，y），连接PN、MN、NF， ∵点P在y=-x+ 3 2 上， ∴P（x，-x+ 3 2 ）， 依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心， ∴N是线段HB的中点，HN=NB= 4-x 2 ，PH=2-（-x+ 3 2 ）=x+ 1 2 ，BM=1， ∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°， ∴∠HPN=∠BNM， 又∵∠PHN=∠B=90°， ∴Rt△PNH ∽ Rt△NMB， ∴ HN BM = PH BN ， ∴ 4-x 2 1 = x+ 1 2 4-x 2 ， ∴x 2 -12x+14=0， 解得：x=6+ 22 （x＞ 3 2 舍去），x=6- 22 ， S PMBH = (BM+HP)?BH 2 = (1+6- 22 + 1 2 )(4-6+ 22 ) 2 =- 37 2 + 19 4 22 ． 故答案为：- 37 2 + 19 4 22 ．