Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）满足f（1）=1，f（-1）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥x成

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R）满足f（1）=1，f（-1）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥x成立．（1）求a，b，c的值；（2）设函数g（x）=f（x）-mx（m∈R），且g（x）在x∈[-1，1]上严格单调，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得： a+b+c=1 a-b+c=0 ，则b=a+c= 1 2 ， 又对任意实数x，都有f（x）≥x，即 a x 2 - 1 2 x+c≥ 0， 则必须 a＞0 △= 1 4 -4ac≤0 ? a＞0 ac≥ 1 16 ， 于是c＞0，所以 1 2 =a+c≥2 ac ? ac≤ 1 16 ， 所以只有ac= 1 16 ，与a+c= 1 2 联立解得：a=c= 1 4 ， 综上可得：a= 1 4 ，b= 1 2 ，c= 1 4 ； （2）由（1）解得：f（x）= 1 4 x 2 + 1 2 x+ 1 4 ，于是g（x）=f（x）-mx= 1 4 [ x 2 +(2-4m)x+1] ， 要使g（x）在x∈[-1，1]上严格单调，则必须： 对称轴x=2m-1≤-1或2m-1≥1，解得：m≤0或m≥1， 则所求的实数m的范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．