Question

某游乐场过山车模型简化为如图所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆

某游乐场过山车模型简化为如图所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．（1）若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？（2）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过多少？

Answer 1

（1）设过山车总质量为M，从高度h 1 处开始下滑，恰能以v 1 过圆周轨道最高点． 在圆轨道最高点有： Mg=M v 1 2 R …① 运动过程机械能守恒： Mg h 1 =2MgR+ 1 2 M v 1 2 …② 由①②式得： h 1 =2.5R                  高度h至少要2.5R． （2）设从高度h 2 处开始下滑，过圆周最低点时速度为v 2 ，游客受到的支持力最大是F N =7mg． 最低点： F N -mg=m v 2 2 R …③ 运动过程机械能守恒： mg h 2 = 1 2 m v 2 2 …④ 由③④式得： h 2 =3R            高度h不得超过3R． 答：（1）若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少是2.5R． （2）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过3R．