已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且△ABC的外接圆半径为R,AB?AC=9.sinB=cosAsinC.(1
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且△ABC的外接圆半径为R,AB?AC=9.sinB=cosAsinC.(1)求△ABC的三边的长;(2)设P是△A...
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且△ABC的外接圆半径为R,AB?AC=9.sinB=cosAsinC.(1)求△ABC的三边的长;(2)设P是△ABC(含边界)内的一点,P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z.①写出x、y、z.所满足的等量关系;②利用线性规划相关知识求出x+y+z的取值范围.
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(1)设△ABC中角ABC所对边分别为a、b、c
由sinB=cosAsinC,得sin(A+C)=cosAsinC
∴sinAcosC=0,可得C=
,
又∵
?
=9,得bccosA=9
∴结合ccosA=b,有b2=9,可得b=3.
∵S△ABC=
a?b=6,
∴a=4,
结合c2=a2+b2,得c=5,
即△ABC的三边长a=4,b=3,c=5;
(2)①S△PAC+S△PBC+S△PAB=S△ABC,可得
?3x+
?4y+
?5z=6,
故3x+4y+5z=12.
②x+y+z=x+y+
(12?3x?4y)=
+
(2x+y)
令t=2x+y,依题意有
画出可行域如图
可知当x=0,y=0时tmin=0
当x=4,y=0时,tmax=8,即0≤t≤8
故x+y+z=
+
t的取值范围为[
,4].
由sinB=cosAsinC,得sin(A+C)=cosAsinC
∴sinAcosC=0,可得C=
π |
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又∵
AB |
AC |
∴结合ccosA=b,有b2=9,可得b=3.
∵S△ABC=
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∴a=4,
结合c2=a2+b2,得c=5,
即△ABC的三边长a=4,b=3,c=5;
(2)①S△PAC+S△PBC+S△PAB=S△ABC,可得
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故3x+4y+5z=12.
②x+y+z=x+y+
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令t=2x+y,依题意有
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画出可行域如图
可知当x=0,y=0时tmin=0
当x=4,y=0时,tmax=8,即0≤t≤8
故x+y+z=
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