Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是______．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是______．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是______．（不要求证明）

Answer 1

（1）根据折叠的性质知：
△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP；
∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN；
∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN，
故△PMN是等腰直角三角形，AM²+BN²=MN²（或AM=BN=

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MN）．

（2）AM²+BN²=MN²；
将△ACM沿CM折叠，得△DCM，连DN，则△ACM≌△DCM，
∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，同理可知∠DCN=∠BCN，
△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°
∴∠MDN=90°，
∴DM²+DN²=MN²，
故AM²+BN²=MN²．

（3）AM²+BN²=MN²；解法同（2）．