Question

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且（Sn+1+λ）an=（Sn+1）an+1对一切n∈N*都成立．（

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且（Sn+1+λ）an=（Sn+1）an+1对一切n∈N*都成立．（1）若λ=1，求数列{an}的通项公式；（2）求λ的值，使数列{an}是等差数列．

Answer 1

（1）若λ=1，则（S_n+1+1）a_n=（S_n+1）a_n+1，a₁=S₁=1．
又∵数列{a_n}的各项均为正数，∴

Sn+1+1

Sn+1

=

an+1

an

，…（2分）
∴

S2+1

S1+1

?

S3+1

S2+1

?…?

Sn+1+1

Sn+1

=

a2

a1

?

a3

a2

?…?

an+1

an

，
化简，得S_n+1+1=2a_n+1．①…（4分）
∴当n≥2时，S_n+1=2a_n．②
②-①，得a_n+1=2a_n，∴

an+1

an

=2（n≥2）．              …（6分）
∵当n=1时，a₂=2，∴n=1时上式也成立，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，a_n=2^n-1（n∈N^*）． …（8分）
（2）令n=1，得a₂=λ+1．
令n=2，得a₃=（λ+1）²．           …（10分）
要使数列{a_n}是等差数列，必须有2a₂=a₁+a₃，解得λ=0   …（11分）
当λ=0时，S_n+1a_n=（S_n+1）a_n+1，且a₂=a₁=1．
当n≥2时，S_n+1（S_n-S_n-1）=（S_n+1）（S_n+1-S_n），
整理，得

Sn+1

Sn-1+1

=

Sn+1

Sn

，…（13分）
从而

S2+1

S1+1

?

S3+1

S2+1

?…?

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