Question

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n．（1）求数列{an}的首项a1与递推关系式：an

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n．（1）求数列{an}的首项a1与递推关系式：an+1=f（an）；（2）先阅读下面定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an?B1?A}是以A为公比的等比数列．”请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{an}的通项公式；（3）求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）令n=1，S₁=2a₁-3．∴a₁=3
又S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
两式相减得，a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，（3分）
则a_n+1=2a_n+3（4分）
（2）按照定理：A=2，B=3，
∴{a_n+3}是公比为2的等比数列．
则a_n+3=（a₁+3）?2^n-1=6?2^n-1，∴a_n=6?2^n-1-3．（8分）
（3）∵a_n=6?2^n-1-3，
∴S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×4-3）+…+（6×2^n-1-3），
∴Sn＝

6(1?2n)

1?2

?3n＝6?2n?3n?6．（12分）