Question

已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．（1）求a1，a2的值；（2

已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设数列{1anan+2}的前n项和为Sn，不等式Sn＞16（a2-5a+8）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，
都有a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²且a_n＞0．
∴a13＝a12，∵a₁＞0，解得a₁=1．
1+a₂³=（1+a₂）²，∵a₂＞0，解得a₂=2．
（2）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
∴a₁³+a₂³+…+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+1）²，②
②-①，得：an+13＝(a1+a2+…+an+1)2-（a₁+a₂+…+a_n）²，
∵a_n＞0，∴an+12＝2(a1+a2+…+an)+an+1，③
同理，an2＝2(a1+a2+…+an?1)+an，n≥2，④
③-④，得an+12?an2＝an+1+an，
∴a_n+1-a_n=1，
∵a₂-a₁=1，∴当n≥1时有a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
（3）

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

?

1

n+2

)，
∴Sn＝

1

2

(1?

1

3

+

1

2

?

1

4

+

1

3

?

1

5

+…+

1

n

?

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

?

1

n+1

?

1

n+2

)
=

推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2012-07-28 已知数列an满足对任意的n∈N*，都有an>0,且a1^3+a2^3+......an^3=(a1+a2+......an)^2。 34 2014-09-15 已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…） （Ⅰ）求证：数列 13 2010-11-03 已知数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an, 8 2010-11-03 已知数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an, 23 2016-07-02 已知数列{an}满足a1=a2=2，a3=3，an+2=a2n+1+ (?1)nan（n≥2）（Ⅰ）求a4，a5；（Ⅱ）是否存在实数λ，使 2020-01-10 已知数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an, 6 2012-08-10 已知数列｛an}满足对任意的n∈N*,都有an>0,且a1^3+a2^3+.......+an^3=(a1+a2+a3+...+an)^2. 4 2016-12-01 数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n-1，则a12+a22+a32+…+an2等于（　　）A．（3n-1）2B．1 5 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式