已知数列{an}满足对任意的n∈N*,都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2且an>0.(1)求a1,a2的值;(2

已知数列{an}满足对任意的n∈N*,都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2且an>0.(1)求a1,a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)... 已知数列{an}满足对任意的n∈N*,都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2且an>0.(1)求a1,a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设数列{1anan+2}的前n项和为Sn,不等式Sn>16(a2-5a+8)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围. 展开
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常如橘子德严652
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(1)∵数列{an}满足对任意的n∈N*
都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an2且an>0.
a13a12,∵a1>0,解得a1=1.
1+a23=(1+a22,∵a2>0,解得a2=2.
(2)∵a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an2,①
∴a13+a23+…+an+13=(a1+a2+…+an+12,②
②-①,得:an+13=(a1+a2+…+an+1)2-(a1+a2+…+an2
∵an>0,∴an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1,③
同理,an2=2(a1+a2+…+an?1)+an,n≥2,④
③-④,得an+12?an2an+1+an
∴an+1-an=1,
∵a2-a1=1,∴当n≥1时有an+1-an=1,
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列,
∴an=n.
(3)
1
anan+2
=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
?
1
n+2
)

Sn
1
2
(1?
1
3
+
1
2
?
1
4
+
1
3
?
1
5
+
…+
1
n
?
1
n+2

=
1
2
(1+
1
2
?
1
n+1
?
1
n+2
)

=
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