
已知数列{an}满足对任意的n∈N*,都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2且an>0.(1)求a1,a2的值;(2
已知数列{an}满足对任意的n∈N*,都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2且an>0.(1)求a1,a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)...
已知数列{an}满足对任意的n∈N*,都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2且an>0.(1)求a1,a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设数列{1anan+2}的前n项和为Sn,不等式Sn>16(a2-5a+8)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
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(1)∵数列{an}满足对任意的n∈N*,
都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2且an>0.
∴a13=a12,∵a1>0,解得a1=1.
1+a23=(1+a2)2,∵a2>0,解得a2=2.
(2)∵a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2,①
∴a13+a23+…+an+13=(a1+a2+…+an+1)2,②
②-①,得:an+13=(a1+a2+…+an+1)2-(a1+a2+…+an)2,
∵an>0,∴an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1,③
同理,an2=2(a1+a2+…+an?1)+an,n≥2,④
③-④,得an+12?an2=an+1+an,
∴an+1-an=1,
∵a2-a1=1,∴当n≥1时有an+1-an=1,
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列,
∴an=n.
(3)
=
=
(
?
),
∴Sn=
(1?
+
?
+
?
+…+
?
)
=
(1+
?
?
)
=
都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2且an>0.
∴a13=a12,∵a1>0,解得a1=1.
1+a23=(1+a2)2,∵a2>0,解得a2=2.
(2)∵a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2,①
∴a13+a23+…+an+13=(a1+a2+…+an+1)2,②
②-①,得:an+13=(a1+a2+…+an+1)2-(a1+a2+…+an)2,
∵an>0,∴an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1,③
同理,an2=2(a1+a2+…+an?1)+an,n≥2,④
③-④,得an+12?an2=an+1+an,
∴an+1-an=1,
∵a2-a1=1,∴当n≥1时有an+1-an=1,
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列,
∴an=n.
(3)
1 |
anan+2 |
1 |
n(n+2) |
1 |
2 |
1 |
n |
1 |
n+2 |
∴Sn=
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
n |
1 |
n+2 |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
=
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