Question

（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=30，BC=23，请补全图形，并求△ABP与△BPC

（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=30，BC=23，请补全图形，并求△ABP与△BPC的面积的比值；（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，判断∠AOD与∠AOE的数量关系，并证明；（3）在四边形ABCD中，已知BC=DC，且AB≠AD，对角线AC平分∠BAD，请直接写出∠B和∠D的数量关系．

Answer 1

（1）解：如图1所示．（1分）
∵BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∴PM=PN．（2分）
∵S△ABP＝

1

2

AB?PM，S△BPC＝

1

2

BC?PN，AB=30，BC=23，
∴

S△ABP

S△BPC

＝

AB

BC

＝

30

23

．（3分）

（2）答：∠AOD与∠AOE的数量关系为相等．
证明：如图2，过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°．
∵∠BAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠BAE．
∴△DAC≌△BAE．
∴DC=BE，
∴S_△DAC=S_△BAE．（4分）
∵S△DAC＝

1

2

DC?AM，S△BAE＝

1

2

BE?AN，
∴AM=AN．（5分）
∴点A在∠DOE的角平分线上．
∴∠AOD=∠AOE．（6分）

（3）作CM⊥AB，CN⊥AD，
则△CMB和△CND是直角三角形，
∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CM=CN，
在Rt△CMB和Rt△CND中，

CM＝CN CB＝DC

，
∴Rt△CMB≌Rt△CND（HL），
∴∠MBC=∠NDC，
∵∠MBC+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，即∠B+∠D=180°．