Question

（2014?闵行区三模）已知：如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在边BC上，点F在对角线AC上，

（2014?闵行区三模）已知：如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在边BC上，点F在对角线AC上，且∠DFC=∠AEB．（1）求证：AD?CE=AF?AC；（2）当点E、F分别是边BC、AC的中点时，求证：AB⊥AC．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠DFC=∠AEB，
∴∠DFA=∠AEC，
∴△ADF∽△CAE，
∴

AD

AC

＝

AF

CE

，
∴AD?CE=AF?AC．

（2）解：∵点E、F分别是边BC、AC的中点，
∴AC=2AF，BC=2CE，
又∵AD?CE=AF?AC，
∴AD?2CE=2AF?AC，即：AD?BC=AC?AC，
∴

AD

AC

＝

AC

BC

，
又∵∠DAC=∠ACB，
∴△ADC∽△CAB，
∴∠ADC=∠CAB，
又∵∠ADC=90°，
∴∠CAB=90°，
∴AB⊥AC．