Question

如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，4）．

如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，4）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在直线BC下方图象上的一动点，过点M作MH∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在直线BC下方图象上的一点，且△ABP的面积与△ABN的面积相等，直接写出点P的坐标．

Answer 1

（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入得

4m+n＝0 n＝4

，
解得

m＝?1 n＝4

．
所以直线BC的解析式为y=-x+4；
将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入y=x²+bx+c，
得

16+4b+c＝0 c＝4

，
解得

b＝?5 c＝4

．
所以抛物线的解析式为y=x²-5x+4；

（2）设M（x，x²-5x+4）（0＜x＜4），则N（x，-x+4），
∵MN=（-x+4）-（x²-5x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，MN有最大值 4；

（3）∵MN取得最大值时，x=2，
∴-x+4=-2+4=2，即N（2，2）．
∵△ABP的面积与△ABN的面积相等，
∴△ABP的AB边上的高等