Question

1.设某消费者的效用函数是柯布-道格拉斯的即U=xαyβ，商品x和商品y的价格分别为PX和PY，消费者的收入为M

1.设某消费者的效用函数是柯布-道格拉斯的即U=xαyβ，商品x和商品y的价格分别为PX和PY，消费者的收入为M，α和β为常数，且α+β=1.
(1)求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。
（2）证明当商品x和商品y的价格以及收入同时变动相同的比例时，消费者对两种商品的需求关系维持不变。
（3）证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。

Answer 1

根据题意可知，aU/ax=ax^(a-1)y^β aU/ay=βx^ay^(β-1) ，则ax^(a-1)y^β/βx^ay^(β-1)=px /py 及 xpx+ypy=M==>x=aM/px y=βM/py。
拓展资料：
一，效用函数通常是用来表示消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数，以衡量消费者从消费既定的商品组合中所获得满足的程度。效用函数的定义是设f是定义在消费集合X上的偏好关系，如果对于X中任何的x，y，xfy当且仅当u(x)≥u(y)，则称函数u:X→R是表示偏好关系f的效用函数。
二，表示消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数。它被用以衡量消费者从消费既定的商品组合中所获得满足的程度。运用无差异曲线只能分析两种商品的组合，而运用效用函数则能分析更多种商品的组合。其表达式是:U=U(x， y， z， )式中 x，y，z分别代表消费者所拥有或消费的各种商品的数量
1、效用函数的定义是：设f是定义在消费集合X上的偏好关系，如果对于X中任何的x，y，xfy当且仅当u(x)≥u(y)，则称函数u:X→R是表示偏好关系f的效用函数
2、F(X)称为效用函数。加权P范数法的关键是权系数的确定。有2种基本的方法，一是老学习法[1，2]，该方法依据目标函数的相对重要性来选取权系数
3、一个人的效用应是财富x的函数，这个函数称为效用函数，从理论上来讲，它可以通过一系列心理测试来逼近得到每个人的效用函数。不同的决策者应有不同的效用函数。首先我们寻求效用函数所满足的性质或某些特殊类效用函数所满足的性质
4、这是一种理论假设，他们运用的数学函数式所建立的模型称为“效用函数”.按照这类模型，人都能被假设成为可以决定在每一种可能的时间分配中产生一定的利益水平，并且追求利益最大化的选择

Answer 2

设某消费者的效用函数为柯布道格拉斯类型的，即U=xyP，商品r和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，a和β为常数，且a+β=1。求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。证明当商品x和y的价格以及消费者的收人同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求量维持不变。Cobb Douglas 生产函数最初是由美国数学家 C.W. Cobb 和经济学家 Paul H.道格拉斯在共同讨论投入与产出的关系时。它以美国数学家 C.W. Cobb 和经济学家 Paul H.道格拉斯。它是对生产函数一般形式的改进，引入了技术资源要素。用于预测国家和地区工业系统或大型企业的生产情况并分析生产发展方式的经济数学模型，简称生产函数。它是经济学中使用最广泛的生产函数形式。它在数理经济学和计量经济学的研究和应用中发挥着重要作用。
拓展资料：
1、Cobb 和 Douglas 研究了 1899 年至 1922 年美国制造业的生产函数，他们指出制造业投资分为机械和建筑物形式的固定资本投资和原材料、半成品形式的流动资本投资。成品和成品仓库，以及土地投资。在他们看来，在商品生产中发挥作用的资本不包括营运资金。这是因为他们认为营运资金是制造过程的结果，而不是原因。同时，他们也排除了对土地的投资。这是因为他们认为这部分投资受地价异常升值影响较大。
2、因此，在它们的生产函数中，资本只包括对机器、工具、设备和厂房的投资。对于劳动力的衡量，他们选择制造业就业工人的数量。但遗憾的是，当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续进行，也不是按分析需要进行分类。因此，他们必须尽可能多地使用一些其他数据来估计他们打算使用的数据的价值。例如，机器和建筑物数量的变化是通过用于生产机器和建_筑物的原材料数量的变化来估计的，例如生铁、钢、钢、木材、焦炭、水泥、砖和铜；用一两个州就业人数的变化来表示全美国就业人数的变化，以此类推。
3、经过一些处理，他们得到了 1899 年至 1922 年间（以 1899 年为基础）产出 P、资本 C 和劳动力 L 的相对变化数据。令人钦佩的是，在没有计算机的时代，他们从这些数据中得出了如下的生产函数公式。
4、虽然这个结果与现代计算机统计软件的计算结果有所不同，但它们之间没有本质区别。在严格的统计术语中，即在 5% 的显着性水平下，不能拒绝相同的原始假设。根据这个结果，他们计算出资本的边际产出，即产出p对资本C的导数，即1/4P/C；劳动的边际产出，即产出对劳动L的导数，为3/4P/L。然后，将这些边际产出乘以相应的生产要素数量，得到资本总产出为1/4P，劳动的总产出为 3 / 4P。

Answer 3

10.设某消费者的效用函数为柯布道格拉斯类型的，即U=xyP，商品r和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，a和β为常数，且a+β=1。

(1)求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。

(2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收人同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求量维持不变。

(3)证明消费者效用函数中的参数a和β分别为商品r和商品》的消费支出占消费者收人的份额。(1)aU/ax=ax^(a-1)y^β aU/ay=βx^ay^(β-1)
根据ax^(a-1)y^β/βx^ay^(β-1)=px /py 及 xpx+ypy=M==>
x=aM/px y=βM/py
(2) 商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例 即px->kpx py->kpy M->km
代入x y 结果不变
(3)x=aM/px y=βM/py==>xpx/M=a ypy/M= β