Question

已知A和B都是n阶矩阵，且E-AB是可逆矩阵，证明E-BA可逆

反证法：假若E-BA不可逆，(E-BA)X=0 ，方程有非零解，通过什么说明(E-AB)X=0 也有非零解，然后E-AB的行列式为0，说明E-AB不可逆，与已知条件矛盾，所以原命题成立。通过什么说明(E-AB)X=0 也有非零解呢？？？

Answer 1

只要找出一个非零解满足（E-AB）Y = 0，就可以说明与题设矛盾，
假设E-BA不可逆，则（E-BA）X = 0 有非零解，则可得 X=BAX。
又 （E-AB）AX = AX - ABAX = AX-AX = 0，即AX为（E-AB）Y = 0的一个非零解，由此可证

也有人是这么解得，（好强大的说）
因为E-AB可逆，则存在可逆阵C使得C(E-AB)=E,则C-CAB=E，
左乘B右乘A，有BCA-BCABA=BA
有BCA=(E+BCA)BA推出(BCA+E)-E=(E+BCA)BA,整理有(BCA+E)(E-BA)=E，根所定义知E-BA可逆

Answer 2

齐次线性方程组(E-BA)X=0有非零解的的条件是R(E-BA)＜n 既丨E-BA丨=丨E丨-丨BA丨=丨E丨-丨B丨丨A丨=丨E-AB丨=0
而于题中所给条件E-AB可逆矛盾