Question

已知f（x）=2x 2 +bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[-1

已知f（x）=2x 2 +bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=2x 2 +bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）． ∴2x 2 +bx+c=0的两根为0，5 ∴ 0+5=- b 2 ，0×5= c 2 ∴b=-10，c=0 ∴f（x）=2x 2 -10x； （2）要使对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x） max ≤2-t即可 ∵f（x）=2x 2 -10x=2 (x- 5 2 ) 2 - 25 2 ，x∈[-1，1]， ∴f（x） max =f（-1）=12 ∴12≤2-t ∴t≤-10