Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝23，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝23，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由e＝

2 3

得a²=3b²，椭圆方程为x²+3y²=3b²
椭圆上的点到点Q的距离d＝

x2+(y?2)2

＝

3b2?3y2+(y?2)2

=

?2y2?4y+4+3b2

(?b≤y≤b)
①当-b≤-1时，即b≥1，dmax＝

6+3b2

＝3得b=1
②当-b＞-1时，即b＜1，dmax＝

b2+4b+4

＝3得b=1（舍）
∴b=1
∴椭圆方程为

x2

3

+y2＝1
（2）假设M（m，n）存在，则有m²+n²＞1
∵|AB|=2

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