Question

已知函数 f(x) 1 3 ax 3 + bx 2 +x+3 ，其中a≠0．（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取

已知函数 f(x) 1 3 ax 3 + bx 2 +x+3 ，其中a≠0．（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？（2）已知a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．

Answer 1

（1）由已知得f′（x）=ax 2 +2bx+1， 令f′（x）=0，得ax 2 +2bx+1=0， f（x）要取得极值，方程ax 2 +2bx+1=0，必须有解， 所以△=4b 2 -4a＞0，即b 2 ＞a， 此时方程ax 2 +2bx+1=0的根为 x 1 = -2b- 4 b 2 -4a 2a = -b- b 2 -a a ，x 2 = -2b+ 4 b 2 -4a 2a = -b-+ b 2 -a a ，， 所以f′（x）=a（x-x 1 ）（x-x 2 ） 当a＞0时， 所以f（x）在x1，x2处分别取得极大值和极小值． 当a＜0时， 所以f（x）在x1，x2处分别取得极大值和极小值． 综上，当a，b满足b 2 ＞a时，f（x）取得极值． （2）要使f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax 2 +2bx+1≥0在（0，1]上恒成立． 即b≥- ax 2 - 1 2x ，x∈（0，1]恒成立， 所以b≥- (- ax 2 - 1 2x )  max 设g（x）=- ax 2 - 1 2x ，g′（x）=- a 2 + 1 2 x 2 = a( x 2 - 1 a )  2 x 2 ， 令g′（x）=0得x= 1 a 或x=- 1 a （舍去）， 当a＞1时，0＜ 1 a ＜1，当x∈（0， 1 a ]时g′（x）＞0，g（x）=- ax 2 - 1 2x 单调增函数； 当x∈（ 1 a ，1]时g′（x）＜0，g（x）=- ax 2 - 1 2x 单调减函数， 所以当x= 1 a 时，g（x）取得最大，最大值为g（ 1 a ）=- a ． 所以b≥- a 当0＜a≤1时， 1 a ≥1， 此时g′（x）≥0在区间（0，1]恒成立， 所以g（x）=- ax 2 - 1 2x 在区间（0，1]上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=- a+1 2 ， 所以b≥- a+1 2 综上，当a＞1时，b≥- a ； 0＜a≤1时，b≥- a+1 2 ；