Question

设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：①对任意的x 1 、x 2 ∈（0，+∞），有 f( x 1 + x 2 2

设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：①对任意的x 1 、x 2 ∈（0，+∞），有 f( x 1 + x 2 2 )≤ f( x 1 )+f( x 2 ) 2 ；②对任意的x 1 、x 2 ∈（1，+∞），有f（x 1 ）-f（x 2 ）＜x 2 -x 1 ；③对任意的x 1 、x 2 ∈（e，+∞），有x 1 f（x 2 ）＜x 2 f（x 1 ）；④对任意的0＜x 1 ＜x 2 ，总有x 0 ∈（x 1 ，x 2 ），使得 f( x 0 )≤ f( x 1 )-f( x 2 ) x 1 - x 2 ．其中正确的是______（填写序号）．

Answer 1

∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函数， ∴对于①由 f( x 1 + x 2 2 ) =ln x 1 + x 2 2 ， f( x 1 )+f( x 2 ) 2 =ln x 1 x 2 ，∵ x 1 + x 2 2 ＞ x 1 x 2 故 f( x 1 + x 2 2 ) ＞ f( x 1 )+f( x 2 ) 2 故①错误． 对于②③，不妨设x 1 ＜x 2 则有f（x 1 ）＜f（x 2 ）， 故由增函数的定义得f（x 1 ）-f（x 2 ）＜x 2 -x 1 故②正确， 由不等式的性质得x 1 f（x 1 ）＜x 2 f（x 2 ），故③错误； 对于④令1=x 1 ＜x 2 =e 2 ，x 0 =e得，f（x 0 ）＞ f( x 1 )-f( x 2 ) x 1 - x 2 ，故④错误． 故答案为②．