Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，CA=3，AA1=6，M为侧棱CC1上一点，AM⊥A1C；（1）求证

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，CA=3，AA1=6，M为侧棱CC1上一点，AM⊥A1C；（1）求证：B1C1∥平面A1BC；（2）求异面直线A1B与AC所成的角的余弦值；（3）求点C到平面ABM的距离．

Answer 1

（1）证明：在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
B₁C₁∥BC，B₁C₁?平面A₁BC，BC?平面A₁BC
∴B₁C₁∥平面A₁BC．
（2）在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，
∴∠BA₁C₁或其补角是异面直线A₁B与AC所成的角．
连接BC₁，
∴CC₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁C₁，
又∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，即A₁C₁⊥B₁C₁
∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，
∴BC₁?平面BB₁C₁C，
∴A₁C₁⊥BC₁，
在Rt△BCC₁中，BC=1，CC₁=AA₁=

6

，
∴BC₁=

BC2+C C 2 1

＝

7

在Rt△ABC₁中，A₁C₁=

3

，BC₁=

7

，
∴A₁B=

A1 C 2 1 +B C 2 1

＝

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